∀X,ℱ(ℱ∩2^X⊆⟨ℱ⟩X)

$ \forall X,\mathcal F:\mathcal F\cap2^X\subseteq\lang\mathcal F\rang_X

$ \because\forall X,\mathcal F\forall F:

$ F\in\mathcal F\cap2^X

$ \iff F\in2^X\land F\subseteq F\land F\in\mathcal F

$ \implies F\in2^X\land\exist F'\subseteq F:F'\in\mathcal F

$ \iff F\in\lang\mathcal F\rang_X

$ \underline{\therefore\forall X,\mathcal F:\mathcal F\cap2^X\subseteq\lang\mathcal F\rang_X\quad}_\blacksquare